PROGRAM LINIER & LOGIKA MATEMATIKA

MAKALAH

MATEMATIKA POGRAM LINIER

DAN LOGIKA MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi terdapat berbagai cabang pembahasan yang ada yang dipelajari siswa dalam kegiatan belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus, peluang, dan statistika, Seorang siswa harus memahami setiap pelajaran yang diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti maksud atau kegunaan dari pelajaran tersebut. Selain itu, ia juga harus bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya mendapat nilai yang bagus. Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan mempunyai kegunaan yang penting terutama berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Pelajaran ini membahas beberapa hal atau bagian yang dibatasi oleh syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah susunan pertidaksaman linear dan tentu di dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan(berkaitan erat).

BAB II

PEMBAHASAN

A. PROGRAM LINIER

Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear.

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya merupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Untuk lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.

Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y

15
x

0
y

Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y

15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0

15
0

15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x

0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1

0 (benar), artinya dipenuhi. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y

0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1

0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).

B. PERTIDAKSAMAAN LINIER DENGAN DUA VARIABEL

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn

dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real
Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear.

Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “ = ” diganti dengan “ ≤ ”, “ < ”, “ ≥ ”, “ > ”. Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut.

Garis x + y = 2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < -2 dan daerah x + y > -2.

Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0 + 0 = 0 > -2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > -2.Daerah x + y > -2 ini diarsir

Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x + y ≥ -2, x ≤ 0, dan y ≤ 0.
Untuk selanjutnya, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear ini disebut daerah penyelesaian.

B. Model Matematika
Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan
10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut :

>> Model Matematikanya:

Pada mesin I : 2x + 5y ≤ 800 …. Persamaan 1
Pada mesin II : 8x + 4y ≤ 800 .… Persamaan 2
Pada mesin III : 10x ≤ 800 .… Persamaan 3
x, y bilangan asli : x ≤ 0, y ≤ 0 .… Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.

C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif
Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga
f(x, y) = 40.000x + 30.000y maksimum.
Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.

C. 1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut :
a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(x, y) = 40.000x + 30.000y.

Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di atas.
a . Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.

Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).

Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x.

Jadi, titik A(80, 0).

Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x + 4y = 800

Substitusi x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800 y = 40

Jadi, titik B(800, 40)

Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan garis 2x + 5y = 800.

Dari 8x + 4y = 800 didapat y = 200 – 2x.
Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800
2x + 5 (200 – 2x) = 800
2x + 1000 – 10x = 800
-8x = -200
x = 25
Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 – 2x
y = 200 – 2.25
y = 150
Jadi titik C( 25, 150)

Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-y.

Substitusikan x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800
2.0 + 5y = 800
5y = 800
y = 160
Jadi titik D(0, 160)
b. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x,y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum.

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif
f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) = 5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum.

C. 2. Metode Garis Selidik
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut.

Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis

ax + by = k, a ≥ 0, b ≥ 0, dan k Є R.

Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!

Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian.

C. NILAI OPTIMUM PADA PERMASALAHAN PROGRAM LINIER

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut:

1. Tentukan model pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah selesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat.

2. Tentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, a, b, dan k bilangan real.

3. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terbesar dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian.

Untuk lebih memahami penerapan langkah-langkah tersebut, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Seorang peternak ayam petelur harus memberi makanan untuk tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk murni, melainkan teerdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg makanan ayam M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat B, dan makanan M2 mengandung 20 unit zat A dan 40 unit zat B. Jika harga M1 adalah Rp 225/kg dan harga M2 adalah Rp 250/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari. Berapakah banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur, supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi?

Pembahasan Contoh Soal

Langkah pertama: Ubah permasalahan di atas menjadi model matematika. Misalkan x dan y secara berturut adalah banyaknya makanan M1 dan M2 yang harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur. Karena tiap 50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B, tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B maka. Dan karena tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari, maka 1.000 ekor ayam membutuhkan 125.000 gr atau 125 kg makanan tiap harinya. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

30x + 20y ≥ 3.000
20x + 40y ≥ 4.000
x + y ≥ 125
x ≥ 0
y≥ 0
x, y bilangan cacah

Fungsi objektif dari permasalahan di atas adalah f(x, y) = 225x + 250y. Sebelum menggambar grafiknya, sebaiknya kita daftar titik-titik yang dilalui oleh garis-garis batas dari sistem pertidaksamaan di atas.

Apabila digambarkan, daerah selesaiannya seperti berikut.

Setelah melihat gambar di atas, ternyata garis selidik yang melalui titik (50, 75) yang memiliki nilai k minimum (nilai k bisa dilihat pada sumbu y, semakin tinggi titik potong garis selidik terhadap sumbu y, maka semakin besar pula nilai k tersebut, dan sebaliknya). Untuk x = 50 dan y = 75, diperoleh nilai k-nya adalah 30.000.

Jadi, banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi secara berturut-turut adalah 50 kg dan 75 kg. Semoga bermanfaat, yos3prens.

A. PERBEDAAN PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN DALAM KALIMAT TERBUKA.

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sebuah alat yang penting untuk berpikir kritis dan

penalaran deduktif. Dalam logika diperlukan adanya proposisi, yakni pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja.

Contoh:

1. “Jumlah dua bilangan genap adalah genap” merupakan pernyataan bernilai benar;

2. “Kota Semarang terletak di propinsi Jawa Barat” merupakan pernyataan bernilai salah;

3. “Kerjakan tugasmu” bukan merupakan pernyataan.

Pernyataan-pernyataan pada contoh di atas merupakan pernyataan-pernyataan sederhana. Sedangkan pernyataan yang dirangkaikan dengan perangkai logika “dan”, “atau”, “tidak”, “meskipun”, “walaupun”, “jika … maka”, disebut pernyataan majemuk. Dalam logika matematika, nilai kebenaran untuk sebuah pernyataan majemuk sudah dirumuskan secara pasti, sehingga setiap proses penarikan kesimpulan menggunakan logika matematika selalu dapat dikontrol kevalidannya. Beberapa pernyataan majemuk yang akan diuraikan dalam bab ini adalah negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi

: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

B. INGKARAN, KONJUNGSI, DISJUNGSI,BIIMPLIKASI

1. Konjungsi

Adalah dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung logika “dan, tetapi, meskipun, walaupun”.

Lambangnya "∧"

Jika p pernyataan bernlai benar dan q pernyataan bernilai benar, maka p∧q bernilai benar, selain itu p∧qbernilai salah.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh:

p: Jakarta ibu kota Indonesia.(B)

q: harimau menyusui anaknya. (B)

p∧q jakarta ibu kota Indonesia dan harimau menyusui anaknya. (B)

2. Disjungsi

Adalah dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung logika “atau”.

Lambang “V”

Sifat: p atau q bernilai salah jika p salah dan q salah, selain itu benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

p	q	pVq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh:

Jika p: Jakarta ibu kota Malaysia (S)

q: 2-4=7 (S)

maka pVq= Jakarta ibu kota Malaysia atau 2-4=7 (S)

3. Implikasi

Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.

Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :

1. Jika p maka q

2. p berimplikasi q

3. q hanya jika p

4. p syarat cukup untuk q

5. q syarat perlu untuk p

Pada implikasi, p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).

Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.

p	q	p→q≡¬pVq
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Implikasi Logis

“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”

Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.

Misal p: Andi rajin belajar

q: Andi naik kelas

maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.

p	q	p→q	((p→q)∧p)	((p→q)∧p)→q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

4. Biimplikasi

Jika dua pernyataan p dan q yang digabungkan dan membentuk kalimat majemuk dengan kata hubung “…jika dan hanya jika…” maka kalimat tersebut membentuk suatu biimplikasi.

Lambang “↔”

Contoh: Ayah akan mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja.

Pembentukan biimplikasi logis

Jika ada pernyataan p dan q serta p↔q maka:

“p jika dan hanya jika q” atau

“jika p maka q dan jika q maka p” atau

p↔q≡(p→q)∧(q→p)

Tabel Kebenaran

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Negasi Konjungsi

Contoh:

p=saya suka apel

q= saya tidak suka wortel

pɅq= saya suka apel dan tidak suka wortel.

¬( pɅq)= tidak benar bahwa saya suka apel dan tak suka wortel.

¬pV¬q=saya tidak suka apel atau suka wortel.

¬( pɅq) ¬pV¬q

p	q	pɅq	¬( pɅq)	¬pV¬q
B	B	B	S	S
B	S	S	B	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

Negasi Disjungsi

Contoh:

p= Andi pergi ke supermarket

q = Andi menonton bioskop

pVq=Andi pergi ke supermarket atau menonton bioskop.

Ingkarannya:

1. tidak benar bahwa Andi pergi ke supermarket atau menonton bioskop. ¬(pVq)

2. Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menontn bioskop. ¬pɅ¬q

¬(pVq)≡ ¬pɅ¬q

p	q	pVq	¬( pVq)	¬pɅ¬q
B	B	B	S	S
B	S	B	S	S
S	B	B	S	S
S	S	S	B	B

Negasi Implikasi

Ingkaran dari padalah ¬( p

Contoh:

p= ibu pergi ke pasar

q=aku mendapat oleh-oleh

pjika ibu pergi ke pasar maka aku mendapat oleh-oleh.

¬( p tidak benar bahwa jika ibu pergi ke pasar maka aku mendapat oleh-oleh.

pɅ¬q= ibu pergi ke pasar dan aku tidak mendapat oleh-oleh.

p	q	p	¬( p	pɅ¬q
B	B	B	S	S
B	S	S	B	B
S	B	B	S	S
S	S	B	S	S

Negasi Biimplikasi

Ingkaran dari biimplikasi: p↔q( pɅ¬q) V (qɅ¬p)

Contoh:

p=Jakarta ibu kota Indonesia

q = 1+1=5

p↔q=Jakrta ibu kota Indonesia jika dan hanya jika 1+1=5

¬(p↔q)=tidak benar bahwa Jakrta ibu kota Indonesia jika dan hanya jika 1+1=5

( pɅ¬q) V (qɅ¬p)=Jakarta ibu kota Indonesia dan 1+15 atau 1+1=5 dan Jakarta bukan ibu kota Indonesia.

p	q	p	¬( p	( pɅ¬q) V (qɅ¬p)
B	B	B	S	S
B	S	S	B	B
S	B	S	B	B
S	S	B	S	S

C. INVERS, KONVERS DAN KONSTRAPOSISI

A. IMPLIKASI
1. Definisi
Implikasi atau pernyataan bersyarat atau kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.
2. Notasi
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
Dibaca :
a. Jika p maka q
b. p berimplikasi q
c. p hanya jika q
d. q jika p
e. q asal saja p
Dalam implikasi p → q, p disebut anteseden (hipotesis) dan q disebut konsekuen (konklusi).
3. Tabel Kebenaran
“definisi : implikasi p → q bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar”.
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B

4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur.
Jawab :
a. jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
B B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan benar dan kesimpulan benar.
b. jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya ibukota jawa timur
S B
Implikasi ini bernilai benar, karena alasan salah dan kesimpulan benar.

B. BIIMPLIKASI
1. Definisi
Biimplikasi atau implikasi dwi arah adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q.
2. Notasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
Dibaca :
a. p jika dan hanya jika q
b. p syarat perlu dan cukup bagi q
c. q syarat perlu dan cukup bagi p
3. Tabel Kebenaran
“definisi : pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponennya bernilai sama”.
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B

4. Contoh
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya 64log 4 = ⅓
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab :
a. (64)⅓ = 4, jika dan hanya jika 64log 4 = ⅓
B B
Merupakan biimplikasi yang benar.
b. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
B S
Merupakan biimplikasi yang bernilai salah.

C. KONVERS,INVERS DAN KONTRAPOSISI
1. Definisi
“Konvers dari implikasi p → q adalah q → p”
“Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q”
“Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p”
2. Hubungan antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi

3. Tabel Kebenaran

p q p → q
Implikasi q → p
Konvers ~ p → ~ q
Invers ~ q → ~ p
Kontraposisi
B B B B B B
B S S B B S
S B B S S B
S S B B B B

4. Contoh
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut.
a. jika harga naik, maka permintaan turun
b. jika x = 5, maka x2 = 25
Jawab :
a. jika harga naik, maka permintaan turun
– Konversnya : jika permintaan turun, maka harga naik
– Inversnya : jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun
– Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik.
b. jika x = 5, maka x2 = 25
– Konversnya : jika x2 = 25, maka x = 5
– Inversnya : jika x ≠ 5, maka x2 ≠ 25
– Kontraposisi : jika x2 ≠ 25 ,maka x ≠ 5.

D. MODUS PONENS, MODUS TELLONS DAN SILOGISME

Pembelajaran tentang modus ponens, modus tollens kali ini akan kita dapat di kleas X SMA, kalau tidak salah judul babnya adalah Logoika Matematika. Terdapat 3 penarikan kesimpulan yang sah untuk tiap persoalan logika matematika yaitu sebagai berikut:

model 1:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : p
kesimpulan : q
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus ponens.

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.

model 2:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : -q
kesimpulan : -p
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus tolens.

Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan ¬p“.

model 3:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : q —> r
kesimpulan : p —> r
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah silogisme.

Berikut adalah contoh soal yang masuk dalam Ujian Nasioanl tahun 2006/2007:

Diketahui pernyataan:

1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi

2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung

3. Ani tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah

a. hari panas

b. hari tidak panas

c. Ani memakai topi

d. hari panas dan Ani memakai topi

e. hari tidak panas dan ani memakai topi

Penyelesaian untuk kasus tersebut adalah seb agai berikut:

p = hari panas

q = Ani memakai topi

r = Ani pakai paying

p q

~q ᶸ r

Untuk pembuktian dengan percobaan Benar dan Salah, kasus ini terbukti tautology. Sehingga jawaban yang mungkian adalah B. hari tidak panas ( ~p)

SILOGISME

Pengertian Silogisme dan Contoh Silogisme | Apa itu silogisme? Silogisme adalah jenis penalaran deduksi secara tidak langsung. Silogisme merupakan penemuan terbesar dari ahli filsafat terkenal, Aristoteles. Dalam pengertian umum, silogisme adalah suatu argument deduktif yang terdiri dari dua premis dan satu kesimpulan. Silogisme adalah setiap penyimpulan tidak langsung, yang dari dua proposisi (premis-premis) disimpulkan suatu proposisi baru (kesimpulan). Premis yang pertama disebut premis umum (premis mayor) dan premis yang kedua disebut premis khusus (premis minor). Kesimpulan itu berhubungan erat sekali dengan premis-premis yang ada. Jika premis-premisnya benar maka kesimpulannya juga benar.

Dalam penerapannya, ada tiga jenis silogisme, yaitu silogisme kategoris, silogisme hipotesis, dan silogisme alternatif. Silogisme kategoris adalah silogisme yang terdiri dari tiga proposisi (premis) kategoris. Contoh silogisme kategoris:

Semua manusia adalah makhluk berakal budi (premis mayor)

Afdan adalah manusia (premis minor)

Jadi, Afdan adalah makhluk berakal budi (kesimpulan)

Silogisme hipotesis adalah silogisme yang premis mayornya berupa keputusan hipotesis dan premis minornya merupakan pernyataan kategoris. Contoh silogisme hipotesis:

Jika hari ini tidak hujan, saya akan ke rumah paman (premis mayor)

Hari ini tidak hujan (premis minor)

Maka, saya akan kerumah paman (kesimpulan).

Silogisme alternatif adalah silogisme yang premis mayornya premis alternatif, premis minornya membenarkan salah satu alternatifnya, dan kesimpulannya menolak alternatif yang lain. Contoh silogisme alternatif:

Kakek berada di Bantaeng atau Makassar (premis mayor)

Kakek berada di Bantaeng (premis minor)

Jadi, kakek tidak berada di Makassar (kesimpulan)

BAB III

PENUTUP

Demikianlah yang dapat kami sampaikan mengenai materi yang menjadi bahasan dalam makalah ini, tentunya banyak kekurangan dan kelemahan kerena terbatasnya pengetahuan kurangnya rujukan atau referensi yang kami peroleh hubungannya dengan makalah ini Penulis banyak berharap kepada para pembaca yang budiman memberikan kritik saran yang membangun kepada kami demi sempurnanya makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis para pembaca khusus pada penulis. Aamiin

Berbagi Makalah

PROGRAM LINIER & LOGIKA MATEMATIKA

Archive